这里说说群的组合flavor一些基础的群论和应用，你可以看Evan Chen给高中生写的笔记, 我个人觉得挺有意思的。https://web.evanchen.cc/napkin.html 这个小册子(?)有关群论的部分就写了一些关于Polya公式的应用(ie你说的魔方可以被看作变换群$G \hookrightarrow S^n$作用在面上, 那么很自然的可以问如果用$r$种颜色对魔方每个面进行染色, 那么显然旋转之后的染色魔方是一种染色方案。Polya公式告诉你$\#{\text{coloring}}=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} r^{\#{\text{ of cycles in }g}}$)如果你想"系统的"学抽象代数, 我个人建议你可以看Serge Lang的algebra，那里的习题都不错，缺点是太厚。但我觉得挺无聊的——这些内容太泛了，你学了也不知道能干嘛，所以虽然学这些东西来熟悉名词是必要的，但重点在于背定理就太无聊了——不如学几个🌰，算点组合数学可比K书有意思多了。（话说学数学不就是为了有趣么～）虽然抽象代数的定义非常催眠，但是，他们是有丰富的作用来显示他们的结构的，所以另一种认识群的方式是通过$G$对于$\mathbb{C}^n$(作为向量空间)的作用。这个就有意思多了。这里$S_n$对$\mathbb{C}^n$有一个天然的作用，就是对基底$e_n$的角标排序, 因此定义$\rho: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}$, by $(z_1, ..., z_n) \to \sum z_j$, 注意到$\rho$与$G$的作用交换，并且$Ker(\rho)$是一个$G$不变的$n-1$维子空间。这事实上是$S_n$的一个不可约表示(ie, 这个线性空间不存在nontrivial子空间是$G$作用下不变的)。因此可以从表示论来研究群论。Serre有一本很有意思的小书Linear Representations of Finite Groups，这书原本是写给化学系的学生的。$S_n$尤其有意思的一点是他的不可约表示$V_\lambda$和Young diagram $\lambda$一一对应。(ie, 这是一个锯齿状的格子图，如图：，这里从上到下，从左到右，格子数递减) 我们可以给$\lambda$上色，ie，格子里填上1-n，使得 从上到下，从左到右，数字递减。一个重要的定理是$\dim V_\lambda=\#\text{ coloring}$. 这个染色种数可以计算的，$\frac{n!}{\prod_{g\text{ is a grid in }\lambda} hl(g)}$，$hl(g)$是格子$g$的hook length，ie，从格子$g$的右边那一行和格子下面那一列形成的"勾子"的格子数量，eg，。由于抽象代数，我们知道SS ring splits off to simple ones, so $\mathbb{C}[S_n]=\bigoplus _\lambda\text{End}_{\mathbb{C}[S_n]}(V_\lambda)$, 取dimension我们得到 $n!= \sum {\dim V_\lambda}^2=\sum ( {\#\text{ coloring of }\lambda})^2$. 很酷吧～ 赵雨菲貌似在Harvard math review就写过一篇科普性质的文章，http://yufeizhao.com/research/youngtab-hcmr.pdf ，关于更加fancy的几何应用，fulton有一本关于young tableaux的书。而且我觉得这个还挺适合高中生的，听说某校的高中夏令营就让高中生算这种类似的(当然没那么简单啦，是算Shur polynomials之类的东西，我听说)。当然群论和拓扑也大有关系，但我不知道哪些书系统地记载了这些群，能找到的都比较老... 我看到一本常被引用的是Klein的。。。一个很有意思的事实是, $A_5=PSL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$, 他的central extension $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$是叫做binary icosahedreal group, 这个群可以被写作$S^2$上被分割成球面三角形(三个角: $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{5}$)后，某个球面三角形沿着边反射的群(对，fundamental domain!)。$SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$事实上是$S^3=SU(2)$的一个离散子群，因此作用在$S^3$上，而quotient $S^3/SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$叫做poincare homology sphere, 这个例子是poincare提出poincare猜想的契机。(原本的poincare猜想是：如果三维流形的$b_1=0$，那么该三维流形是球面。这显然是错的，所以poincare改成了基本群。)